实验科学的实用统计技术

简单测量的不确定度汇报

通过卡尺、天平等量具直接测量的物理量，或者通过多个直接测量量合成的物理量如何汇报测量结果？

直接测量

设对物理量$Y$直接独立测量$n$次，取得读数$\{y_1,y_2,\ldots,y_n\}$。求测量结果完整汇报。

1. 先求读数均值 $$\begin{equation} \bar{y}=\dfrac1{n}\sum _ {i=1}^n y_i \end{equation}$$
2. 修正系统误差 $$\begin{equation} y=\bar{y}-y _ \text{sys} \end{equation}$$
3. 求样本标准偏差 $$\begin{equation} s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum _ {i=1}^n(y_i-\bar{y})^2} \end{equation}$$

4. 求不确定度的A类分量
   不确定度的A类分量指多次测量的标准差带来的不确定度。

   $$\begin{equation} u_A=s/\sqrt{n} \end{equation}$$

5. 求不确定度的B类分量
   不确定度的B类分量指非统计的不确定度，包括仪器示值误差、瞄准误差、视差影响等随机误差等等。实验教学中B类不确定度只考虑计量器具的误差限值$\Delta _ \text{INS}$

   $$\begin{equation} u_B=\Delta _ \text{INS}/\sqrt{3} \end{equation}$$

   其中$k=\sqrt{3}$称为包含因子，$\sqrt{3}$是均匀分布时的对应值，也是分布未知时的推荐值。

6. 合成标准不确定度

   $$\begin{equation} u_c = \sqrt{u_A^2+ u_B^2} \end{equation}$$

7. 测量结果汇报
   测量结果

   $$\begin{equation} y\pm u_c \end{equation}$$

   表示测量值$y$的误差在区间$\pm u_c$之间的置信概率约为2/3。大约相当于一个$\sigma$的置信区间。

8. 有效自由度计算（可选）

   $$\begin{equation} \nu _ \text{eff}=\dfrac{u_c^4}{\frac{u_A^4}{\nu_A}+\frac{u_B^4}{\nu_B}} \end{equation}$$

   其中$\nu_A=n-1$，$\nu_B$约定为$20$。

9. 扩展不确定度计算（可选）
   扩展到0.95置信区间，

   $$\begin{equation} U = t_{p=0.95,\nu_\text{eff}}\cdot u_c \end{equation}$$

   其中$t$因子可以查表，也可以近似计算

   $$\begin{equation} t _ {0.95,\nu}\approx 1.959+\frac{2.406}{\nu-1.064}\qquad (\nu\geqslant 3) \end{equation}$$

单次测量的简化计算

如因$s$显著小于$\Delta _ \text{INS}/2$，或因评定出$u_A$对最后结果的标准不确定度影响甚小，或因条件受限而只测了一次，可更简单地取
$u_c\approx u_B=\Delta _ \text{INS}/\sqrt{3}$，$\nu _ \text{eff}\approx 20$，$t _ {0.95,20}=2.086$。

高教沈元华版《基础物理实验》建议单次测量可以如下估计A类分量：记仪器的分度值为$d$，根据“估读程度”，

• 最好：$u_A = d/10$
• 中等：$u_A = d/5$
• 较差：$u_A = d/2$
• 特殊情况，比如数字显示：$u_A=d\nonumber$

例子

用1级螺旋侧微计测量某钢丝直径d（求截面积），9次测得值$y_i$分别为0.294, 0.300, 0.303, 0.295, 0.298, 0.293, 0.292, 0.300, 0.305，单位为mm。测量前螺旋测微计零点读数值（即已定系差）为-0.003mm。1级螺旋测微计的示值误差限$\Delta _ \text{INS}$。

1. 平均值：$\bar{y}=0.2978 \text{mm}$

2. 修系差：$y=\bar{y}-(-0.003\text{mm})=0.3008 \text{mm}$

3. 标准偏差：$s=0.00458 \text{mm}$

4. 不确定度的A类分量：$u_A=s/\sqrt{9}= 0.00153\text{mm}$

5. 不确定度的B类分量：$u_B=\Delta _ \text{INS}/\sqrt{3}=0.0023\text{mm}$

6. 合成标准不确定度：$u_c=\sqrt{u_A^2+u_B^2}=0.00277\text{mm}$

7. 汇报结果：直径测量结果$d=(0.3008\pm 0.0028)\text{mm}$

8. 有效自由度：$\nu _ \text{eff}=0.0028^4\left/\left(\frac{0.0014^4}{8}+\frac{0.0023^4}{20}\right)\right.\approx 28$

9. 0.95扩展不确定度：$U\approx t_{0.95,28}\cdot u_c = 2.048\times 0.00277=0.0057\approx 0.006\text{(mm)}$

间接测量

对$Y=Y(X)$，一般有合成标准不确定度：

$$\begin{equation} u_c=\sqrt{\sum_i \left(\left.\frac{\partial Y}{\partial X_i}\right| _ X\cdot u _ {ic}\right)^2} \end{equation}$$

常用的不确定度传递公式：

• 加减：$y=x_1\pm x_2$，$u^2(y)=u^2(x_1)+u^2(x_2)$
• 乘除：$y=x_1^nx_2^m$，$\left(\frac{u(y)}{y}\right)^2=\left(n\frac{u(x_1)}{x_1}\right)^2 + \left(m\frac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$

例子

测量一个圆柱体的密度：

$$\begin{equation} \rho = \frac{4M}{\pi D^2H} \end{equation}$$

质量的测量：选用可读性（精度）为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平， 测得：$M$=80.36g

高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度， 测得左端读数：$H_1$=4.00cm 测得右端读数：$H_2$=19.32cm

直径的测量：选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺，测得D值为（单位cm）：2.014, 2.020, 2.016, 2.020, 2.018, 2.018, 2.020, 2.022, 2.016, 2.020

1. 质量的不确定度：单次测量的不确定度

   $$\begin{equation} u(M) = \sqrt{0.01^2+(0.02/\sqrt{3})^2}\text{g} = 0.015\text{g} \end{equation}$$

2. 高度的不确定度：单次测量的不确定度

   $$\begin{equation} H=H_2-H_1 = 15.32\text{cm} \end{equation}$$ $$\begin{equation} u(H)=\sqrt{2\times0.02^2+(0.01/\sqrt{3})^2}\text{cm}=0.029\text{cm} \end{equation}$$

3. 直径的不确定度：多次测量的不确定度

   $$\begin{equation} \bar{D}=2.0184\text{cm} \end{equation}$$ $$\begin{equation} u_A(\bar{D})=\sqrt{\dfrac{\sum_i (D_i-\bar{D})^2}{10\times 9}}=0.00078\text{cm} \end{equation}$$ $$\begin{equation} u(\bar{D})=\sqrt{0.00078^2+(0.002/\sqrt{3})^2}\text{cm}=0.0014\text{cm} \end{equation}$$

4. 不确定度传递

   $$\begin{equation} \rho=\frac{4M}{\pi D^2H}=\frac{4\times 80.36}{3.1416\times2.0184^2\times15.32}\text{g/cm}^3=1.639\text{g/cm}^3 \end{equation}$$ $$\begin{align} \frac{u(\rho)}{\rho}=&\sqrt{\left(\frac{u(M)}{M}\right)^2+\left(2\frac{u(D)}{D}\right)^2+\left(\frac{u(H)}{H}\right)^2}\nonumber\\ =&\sqrt{\left(\frac{0.015}{80.36}\right)^2+\left(2\frac{0.0014}{2.0184}\right)^2+\left(\frac{0.029}{15.32}\right)^2}\nonumber\\ =&\sqrt{(1.87\times10^{-4})^2+(1.38\times10^{-3})^2+(1.89\times10^{-3})^2}=0.23\% \end{align}$$ $$\begin{equation} u(\rho)=0.23\%\times 1.639\text{g/cm}^3=0.004\text{g/cm}^3 \end{equation}$$

5. 最终测量结果汇报

   $$\begin{equation} \rho\pm u(\rho)=(1.639\pm 0.004)\text{g/cm}^3=(1.639\pm0.004)\times10^3\text{kg/m}^3 \end{equation}$$

计数实验的统计结果汇报方法

高能物理实验中经常遇到计数的问题，如使用放射性计数器、闪烁体探测器等测量高能粒子的通量。我们使用探测器测量一段时间，得到的是这段时间内事例的个数。这个结果该如何理解、汇报？测量的误差怎么估计？

我们用一个模型来描述事例的探测：事例发生的频率是一个定值（更准确地说，是事例在一段时间内发生次数的期望是定值），每个事例的发生是相互独立的。这样的模型下，描述一段时间内事例发生次数的概率分布是泊松分布。

为什么是泊松分布？

可以用二项分布的极限来导出泊松分布。如果试验次数$n$很大，二项分布的概率$p$很小，且乘积$\lambda= np$比较适中，则事件出现的次数的概率在$n\to\infty$时就是泊松分布。

证明如下。首先，回顾$e$的定义：

$$\begin{equation} \lim _ {n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda}, \end{equation}$$

二项分布的定义：

$$\begin{equation} P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k} \end{equation}$$

如果令$p = \lambda / n$，$n$趋于无穷时$P$的极限：

$$\begin{align} \lim _ {n\to\infty} P(X=k)&=\lim _ {n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \nonumber\\ &=\lim _ {n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\nonumber\\ &=\lim _ {n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]} _ F \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n} _ {\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}} _ {\to 1} \nonumber\\ &= \lim _ {n\to\infty} \underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]} _ {\to 1} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n} _ {\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}} _ {\to 1} \nonumber\\ &= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right) \end{align}$$

由泊松分布，对于一段时间内发生次数期望为$\lambda$的事例，实际发生$k$次的概率表达为

$$\begin{equation} P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \end{equation}$$

泊松分布有数字特征

$$\begin{equation} E[X] = \lambda,\qquad D[X]= \lambda \end{equation}$$

我们做计数实验测量一次得到的结果，可以看作一个样本。我们的任务是估计这次实验的频率的期望值（即$\lambda$）。

一般地，用单次测量结果即可估计给定时长计数实验的计数量，从而求出计数率。其测量结果可以表达为

$$\begin{equation} N_i\pm\sqrt{N_i} \end{equation}$$

该式表明的置信区间为$(N_i-\sqrt{N_i},N_i+\sqrt{N_i})$，置信度为68.3%。计数率$n=N/t$汇报为

$$\begin{equation} n\pm\dfrac{n}{\sqrt{N}} \end{equation}$$

画图时，测量误差用误差棒的长度表示，按惯例每点两边的误差棒长度各等于一倍$\sigma$值。

各种变化的计数方案

Q：将一次时长为t的计数实验分成m次长度为t/m的计数实验，以m个计数率的均值作为计数率的估计，计数率的误差会变化吗？
A：不会。计数率的相对标准偏差仅与总计数有关，且与总计数的相对标准偏差相等。

Q：多次不等精度（时长不等）的计数实验，结果如何汇报？
A：计数率的合成就是总计数量除以总时间。误差汇报的原理是一样的。另外，定数计时误差汇报结果也一样。

Q：存在本底时的计数实验结果如何汇报？
A：一般通过两次测量，一次纯本底，一次本底+样品，汇报的样品的计数率是两个计数率相减。正常做误差的传递就好。

Q：在求能谱时，方案一：独立测量两个能量阈值的计数量；方案二：设置反符合直接测两个能量之间的计数量，两个方案的误差有什么区别？
A：方案一的测量误差（设等精度测量）是$u(\Delta n)=\sqrt{\frac{n_1}{t}+\frac{n_2}{t}}=\sqrt{\frac{n_1+n_2}{t}}$。
方案二的测量误差是$u(\Delta n)=\sqrt{\frac{\Delta n}{t}}=\sqrt{\frac{n_1-n_2}{t}}$

同等测量时长，方案二的误差更小。

计数结果的检验

检查步骤：

1. 给定显著性水平$\alpha$，查表找$K _ \alpha$。
2. 求实验计数值差$\Delta=|N_1-N_2|$，以及计数值差的标准偏差$\sigma _ \Delta=\sqrt{N_1+N_2}$。
3. 求$K=\Delta/\sigma _ \Delta$。
4. 若$K\geqslant K _ \alpha$，认为$\Delta$差异显著，怀疑计数的正确性。

显著性水平$\alpha$越小，表示若判定“异常”，此判定是一个误判的概率小。若我们想对数据点有高的质量要求，则可以设置高的显著性水平。

常用的显著性水平值：$\alpha = 0.05, K _ \alpha = 1.96$；$\alpha=0.01, K _ \alpha=2.58$

分析化学滴定实验分析结果汇报方法

参考资料

1. 朱鹤年，肖志刚，《新概念基础物理实验讲义》
2. 陈伯显，张智，《核辐射物理及探测学》
3. 沈元华，陆申龙，《基础物理实验》