研究问题
- 二维点阵气体 二维正方点阵的格点被一定数量的粒子随机占据，每个格点在任意时刻只能被最多一个粒子占据。对于$N$个粒子占据$M\times M$的点阵的体系，气体密度为$c = \frac{N}{M^2}$。
- 扩散系数 描述粒子扩散能力的物理量，有[面积]/[时间]的量纲。二维空间中扩散系数定义为其中$\la r^2\ra$为$t$时间前后平均每个粒子的位置直线距离的平方，即$x_i,y_i$为$t$时间前后粒子横纵坐标之差。
本文研究二维点阵气体的扩散系数$D$随气体密度$c$的函数关系。
研究方法
多粒子随机行走算法
- 设定点阵为$M\times M$，粒子数为$N$，要求扩散距离的时间间隔范围为1到$T$；
- 每一个move移动一个粒子，最邻近的四个格点随机选择，若选择的格点上已被占据则不移动，否则移动；
- 每个单位时间进行$N$次move；
- 每个单位时间的全部move结束后，对于给定时间间隔范围1到$T$内每个时间间隔，求每个粒子移动的直线距离的平方；计算这个时间间隔平均每个粒子移动的直线距离的平方，并储存。
- 一共移动$t$个单位时间，$t\gg T$；
- 统计每个粒子坐标的差，求横纵坐标的平方并求和，除以$N$得到$\la r^2\ra$；
- 通过$D=\frac{\la r^2\ra}{4T}$求得$N$个粒子对应的扩散系数$D$；
- 改变粒子总数$N$，求对应的$D$。
周期性边界条件
- 判断粒子能否移动时，使用周期性边界条件，即将粒子的坐标对点阵边长取模后进行判断；
- 计算位移时，不使用周期性边界条件，粒子可以向无穷远扩散。
统计方法
- 不考虑初始构型的非平衡性，因为可以通过随机放置粒子来减小极端初始构型出现的概率；
- 由于总步数$nstep=N\times T$，所以可以简化统计公式$D=\frac{1}{4nstep}\sum_{i=1}^N(x_i^2+y_i^2)$；
- 对于每个粒子总数$N$时的扩散系数$D$，应当多次计算取平均值。本文可以利用$\sum_{i=1}^N(x_i^2+y_i^2)$与$nstep$的线性关系使用回归求$D$。
模拟结果
对于$M=32$的系统，$nstep=100$，统计误差在10%左右。模拟结果如图。
对于$M=32$的系统，$nstep=1000$，统计误差在10%左右。模拟结果如图。
结果讨论
对于同样大小的系统，当模拟步数增大时，$4D(c)$偏离了$1-c$。
出现这个变化的原因，可能是在步数也就是时间较小时，存在初始构型的非平衡性对运动的影响。真实的$D(c)$应当为$T\to\infty$时的值。
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